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转 数学中的“混沌”  

2010-12-26 22:06:49|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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基本介绍

  混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,一个确定性理论描述的系统,其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测,这就是混沌现象。进一步研究表明,混沌是非线性动力系统的固有特性,是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统,而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此,在现实生活和实际工程技术问题中,混沌是无处不在的。

 

发展过程

  1972年12月29日,美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文,提出一个貌似荒谬的论

  

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断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风,并由此提出了天气的不可准确预报

 

 性。时至今日,这一论断仍为人津津乐道,更重要的是,它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。今天,伴随计算机等技术的飞速进步,混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

  一般地,如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为,就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统,称为动力系统,它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中,两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致,恰如从长序列中随机选取的两个状态那样,这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为混沌的一个定义。

  与我们通常研究的线性科学不同,混沌学研究的是一种非线性科学,而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如,孤波不是周期性振荡的规则传播;“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法;混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”,出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

  混沌来自于非线性动力系统,而动力系统又描述的是任意随

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时间发展变化的过程,并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子,生态学家对某物种的长期性态感兴趣,给定一些观察到的或实验得到的变量(如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等),建立数学模型来描述群体的增减。如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比,则著名的“罗杰斯蒂映射”:Pn+1=kP(1-Pn)(其中k是依赖于生态条件的常数,“n+1”是脚标)可以用于在给定Po,k条件下,预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k,则当k值增大到一定值后,“罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子:温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹(E.N.Lorenz)教授于1963年《大气科学》杂志上发表了

 

 “决定性的非周期流”一文,阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系,这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候,偶然发现输入的初始条件的极细微的差别,可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻,即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流,几星期后可能变成席卷北半

  

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球美国得克萨斯州的一场龙卷风,这就是天气的“蝴蝶效应”。

  混沌不是偶然的、个别的事件,而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的,万事万物,莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学,它与其它各门科学互相促进、互相依靠,由此派生出许多交叉学科,如混沌气象学、混沌经济学混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值,而且有现实应用价值,能直接或间接创造财富。

  混沌(Chaos),指确定性系统产生的一种对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。浑沌与分形(fractal)和孤子(soliton)是非线性科学中最重要的三个概念。浑沌理论隶属于非线性科学,只有非线性系统才能产生浑沌运动。据1991年出版的《浑沌文献总目》统计,已收集

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到与浑沌研究有直接关系的书269部、论文7157篇。到1996年底,还不断有新的浑沌研究成果发表。科学史上只有量子力学的攻坚热情可与之媲美。

现代科学的定义

  现代科学所讲的混沌,其基本含义可以概括为:聚散有法,周行而不

  

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殆,回复而不闭。意思是说混沌轨道的运动完全受规律支配,但相空间中轨道运动不会中止,在有限空间中永远运动着,不相交也不闭合。浑沌运动表观上是无序的,产生了类随机性,也称内在随机性。浑沌模型一定程度上更新了传统科学中的周期模型,用浑沌的观点去看原来被视为周期运动的对象,往往有新的理解。80年代中期开始浑沌理论已被用于社会问题研究,如经济学、社会学和哲学研究。

  大自然并不缺少混沌,现代科学重新发现了混沌。以浑沌理论为标志的非线性科学强调自然的自组织机制,强调看待事物的整体性原则,与古代哲人所说的“前现在浑沌”有千丝万缕的联系,因而常常被后现代主义者看好。

  探求浑沌的科学定义,追索浑沌古义,被认为是浑沌语义学、非线性科学史、后现代主义科学观研究等必须认真对待的一门学问。

  古人面对浩渺陌生的宇宙万物与今人面对错综复杂的宏观现象,情景大概是一样的。在古代,为捕捉外部世界,几乎所有民族都构造了自己的浑沌自然哲学;今天,为理解宏观复杂性,世界各国的科学家并肩奋战,创立了具有革命性的浑沌新科学。这门新科学展示了一幅恢弘的科学世界图景,也暗示了一种新的自然哲学

  从更大的范围看,浑沌研究只是复杂性科学中的一支,新的自然哲学必然建立在整个复杂性科学的基础之上。现在就匆忙从整体上进行全面的概括,为时尚早。

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